《深度学习的数学》核心算法学习总结：从梯度下降到 CNN 反向传播（中学生友好版）

Sat, 01 Nov 2025 11:16:00 +0800

《深度学习的数学》核心算法学习总结

目标读者：学过函数、导数、向量/矩阵基础的中学生生或刚转行的工程师。
参考书籍：涌井良幸《深度学习的数学》
Excel 示例：https://www.ituring.com.cn/book/2593

写在前面：为什么要先搞懂这 5 个算法？

深度学习的代码看起来很复杂，但核心无非是这五个环节：

梯度下降法：告诉模型“往哪走、走多远”。
NN 求解器：用 Excel/数值方法直接“暴力”找出神经网络权重。
NN 误差反向传播法：用导数的链式法则高效计算每个权重的调整量。
CNN 求解器：把同样的思路用到图像上，用卷积和池化提取特征。
CNN 误差反向传播法：把反向传播扩展到卷积层和池化层。

下面每一节都会先讲直觉，再给公式、例子、图解和踩坑经验。

一、梯度下降法（Gradient Descent）

1.1 一句话理解

想象你蒙着眼睛站在山坡上，想走到最低点。你每一步都：用脚感觉最陡的方向，然后朝相反方向跨一小步。重复很多次，就能接近山谷。

“最陡的方向” = 梯度（gradient）。
“相反方向” = 梯度前面加负号。
“一小步” = 学习率 η（eta）。

1.2 数学表达式

要找函数 $z = f(x, y)$ 的最小值，每一步：

$$ \begin{aligned} x_{\text{新}} &= x_{\text{旧}} - \eta \cdot \frac{\partial z}{\partial x} \\ y_{\text{新}} &= y_{\text{旧}} - \eta \cdot \frac{\partial z}{\partial y} \end{aligned} $$

其中 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 读作“z 对 x 的偏导数”，意思是：只有 x 动一点点时，z 会变多少。

1.3 计算例子：z = x² + y²

这是最简单的碗状函数，最小值在 $(0, 0)$。

偏导数很容易算：

$$ \begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x} &= 2x \\ \frac{\partial z}{\partial y} &= 2y \end{aligned} $$

取学习率 $\eta = 0.1$，起点 $(3, 2)$：

步数 $i$	$x_i$	$y_i$	$\frac{\partial z}{\partial x}$	$\frac{\partial z}{\partial y}$	$\Delta x$	$\Delta y$	$z = x^2 + y^2$
0	3.00	2.00	6.00	4.00	-0.60	-0.40	13.00
1	2.40	1.60	4.80	3.20	-0.48	-0.32	8.32
2	1.92	1.28	3.84	2.56	-0.38	-0.26	5.32
3	1.54	1.02	3.07	2.05	-0.31	-0.20	3.41
4	1.23	0.82	2.46	1.64	-0.25	-0.16	2.18
13	0.16	0.11	0.33	0.22	-0.03	-0.02	0.04
18	0.05	0.04	0.11	0.07	-0.01	-0.01	0.00
30	0.00	0.00	0.01	0.00	0.00	0.00	0.00

可以看到：z 越来越小，x、y 越来越靠近 0。Excel 文件 2-11 梯度下降法.xlsx 就是用完全相同的公式做出来的。

1.4 流程图

flowchart TD
    A[初始化参数 x, y] --> B[计算当前梯度]
    B --> C{梯度是否足够小？}
    C -->|是| D[结束，得到近似最优解]
    C -->|否| E[按 x := x - η·grad 更新]
    E --> B

1.5 结构分解图

flowchart LR
    subgraph 输入
        X["x"]
        Y["y"]
    end
    subgraph 目标函数
        F["z = x² + y²"]
    end
    subgraph 输出
        G["梯度 (∂z/∂x, ∂z/∂y)"]
        L["当前损失 z"]
    end
    X --> F
    Y --> F
    F --> G
    F --> L
    G --> U["更新 x, y"]
    U --> X

1.6 使用注意点 / 避坑指南

坑	现象	处理方法
学习率 η 太大	左右震荡、loss 不下降甚至发散到 NaN	先设小一点（如 0.001、0.01），再调大
学习率 η 太小	收敛极慢，训练一万轮还在原地	逐步放大，或使用学习率衰减/热身
局部最小值	卡在不是全局最低的山谷	换初始化、用 Momentum/Adam、增加随机性
特征尺度不一致	某个参数梯度特别大，更新不稳定	先标准化/归一化输入数据
没有检查收敛	一直在迭代，不知道何时停	设定 loss 阈值、最大迭代次数或早停 Early Stopping

1.7 异常场景处理

Loss 变成 NaN/Inf：立刻减小学习率，检查输入是否归一化，检查是否出现 log(0) 或除零。
Loss 不动：检查梯度是否接近 0（可能进入平台或死区），换激活函数（如 ReLU），或减少正则化。
Loss 震荡不下降：学习率过大，改用 Momentum 或 Adam，或者降低 batch size。

二、NN 求解器（用优化器/求解器训练神经网络）

2.1 神经网络在做什么？

神经网络 = 很多层“加权求和 + 激活函数”拼在一起。

以书中“0 和 1 的识别”为例：

输入：3×4 = 12 个像素（0 或 1）。
隐藏层：3 个神经元。
输出层：2 个神经元，分别代表“是 0”还是“是 1”。

下面就是它的经典结构图：

flowchart LR
    subgraph 输入层["输入层（12 个像素）"]
        I1((x₁))
        I2((x₂))
        I3((x₃))
        IDOTS[...]
        I12((x₁₂))
    end
    subgraph 隐藏层["隐藏层（3 个神经元）"]
        H1((h₁))
        H2((h₂))
        H3((h₃))
    end
    subgraph 输出层["输出层（2 个神经元）"]
        O1((是 0))
        O2((是 1))
    end

    I1 --> H1
    I1 --> H2
    I1 --> H3
    I2 --> H1
    I2 --> H2
    I2 --> H3
    I3 --> H1
    I3 --> H2
    I3 --> H3
    I12 --> H1
    I12 --> H2
    I12 --> H3

    H1 --> O1
    H1 --> O2
    H2 --> O1
    H2 --> O2
    H3 --> O1
    H3 --> O2

每个箭头都代表一个权重 w，每个圆圈（神经元）里都会做“加权求和 + 激活函数”。

2.2 前向传播公式

对单个神经元：

$$ \begin{aligned} \text{加权求和：} \quad z &= w_1 x_1 + w_2 x_2 + \dots + w_n x_n + b \\ \text{激活输出：} \quad a &= \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}} \end{aligned} $$

σ 叫 Sigmoid 函数，能把任意实数压到 0-1 之间，适合当“概率”。

如果写成更清晰的“层”形式：

隐藏层第 j 个神经元：

$$ \begin{aligned} z_j^{(2)} &= \sum_{i=1}^{12} w_{ji}^{(1)} \cdot x_i + b_j^{(1)} \\ a_j^{(2)} &= \sigma\left(z_j^{(2)}\right) \end{aligned} $$

输出层第 k 个神经元：

$$ \begin{aligned} z_k^{(3)} &= \sum_{j=1}^{3} w_{kj}^{(2)} \cdot a_j^{(2)} + b_k^{(3)} \\ a_k^{(3)} &= \sigma\left(z_k^{(3)}\right) \end{aligned} $$

$x_i$：输入像素（12 个）。
$w_{ji}^{(1)}$：输入到隐藏层的权重。
$b_j^{(1)}$：隐藏层的偏置。
$a_j^{(2)}$：隐藏层输出。
$w_{kj}^{(2)}$：隐藏层到输出层的权重。
$b_k^{(3)}$：输出层的偏置。

2.3 Excel 里的实现（测试表）

在 3-5 NN（求解器）.xlsx 的“测试”表中，核心公式长这样：

# 隐藏层第一个神经元
=SUMPRODUCT(L5:N8, $D$5:$F$8) + $G$5

# Sigmoid 激活
=1/(1+EXP(-O11))

# 输出层
=MMULT($D$17:$F$17, O14:O16) + $G$17

对应上面的数学公式：

Excel 公式	数学含义	Excel 函数说明
`SUMPRODUCT(L5:N8, $D$5:$F$8)`	$\sum_{i=1}^{12} w_i \cdot x_i$	把两个区域里对应位置相乘，再把所有乘积加起来，本质就是向量的点积/内积。这里输入像素放在 `L5:N8`，对应权重放在 `$D$5:$F$8`。
`+ $G$5`	$+ b_j^{(1)}$	加上隐藏层第 1 个神经元的偏置。
`1/(1+EXP(-O11))`	$\sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$	Sigmoid 激活函数。
`MMULT($D$17:$F$17, O14:O16)`	$\sum_{j=1}^{3} w_{kj}^{(2)} \cdot a_j^{(2)}$	矩阵乘法。`$D$17:$F$17` 是 1×3 的输出行权重，`O14:O16` 是 3×1 的隐藏层输出列向量，乘出来是一个标量。
`+ $G$17`	$+ b_k^{(3)}$	加上输出层第 k 个神经元的偏置。

一句话总结：Excel 里先用 SUMPRODUCT 做点积，再用 MMULT 做矩阵乘法，最后都加上偏置、过 Sigmoid。

2.4 计算例子

例子 1：隐藏层神经元（SUMPRODUCT 在算什么）

完整公式是：

$$ z_j^{(2)} = \sum_{i=1}^{12} w_{ji}^{(1)} \cdot x_i + b_j^{(1)} $$

为了手写方便，下面只看前 3 个输入和权重，演示这个过程。假设：

$$ \mathbf{w} = [-2.06,\ 3.36,\ -0.63]^\top,\quad b = -0.99,\quad \mathbf{x} = [1,\ 1,\ 1]^\top $$

$$ \begin{aligned} z &= (-2.06) \times 1 + 3.36 \times 1 + (-0.63) \times 1 + (-0.99) \\ &= -0.32 \\[6pt] a &= \sigma(-0.32) = \frac{1}{1 + e^{0.32}} \approx 0.42 \end{aligned} $$

Excel 里会用 SUMPRODUCT(L5:N8, $D$5:$F$8) 一次性把 12 项都乘好再加起来，然后 + $G$5 加上偏置。

例子 2：输出层神经元（MMULT 在算什么）

隐藏层输出（来自书中 Excel 第一个样本的近似值）：

$$ \mathbf{a}^{(2)} = [1.5 \times 10^{-6},\ 0.99999999,\ 0.99999997]^\top $$

输出神经元 1 的权重和偏置：

$$ \mathbf{w}_1^{(2)} = [-14.25,\ -3.70,\ 9.33],\quad b_1^{(2)} = 6.64 $$

输出层的计算就是一次 1×3 矩阵 × 3×1 向量：

$$ \begin{aligned} z_1^{(3)} &= (-14.25) \times 1.5 \times 10^{-6} + (-3.70) \times 0.99999999 + 9.33 \times 0.99999997 + 6.64 \\ &\approx -3.70 + 9.33 + 6.64 \\ &\approx 12.28 \\[6pt] a_1^{(3)} &= \sigma(12.28) \approx 0.999995 \end{aligned} $$

含义：模型非常确信这个样本是“0”。Excel 里的 MMULT($D$17:$F$17, O14:O16) 做的就是这一步矩阵乘法。

2.5 流程图

flowchart LR
    I["输入图像像素 x"] --> W1["隐藏层加权求和 z²"]
    W1 --> A1["Sigmoid 激活 a²"]
    A1 --> W2["输出层加权求和 z³"]
    W2 --> A2["输出概率 a³"]
    A2 --> C["计算损失 C"]
    C --> S["Excel 求解器调整 w, b"]
    S --> W1

2.6 使用注意点 / 避坑

求解器=黑盒：Excel Solver 是通过数值方法搜索最优解，参数多的时候很慢，且容易陷入局部最优。
权重初始化别全 0：如果所有权重相同，所有神经元学到的东西也相同，模型退化成“单神经元”。
数据量不能太少：书中只有几十张图是为了教学，真实项目通常需要成千上万张。
输出层要配对损失函数：二分类用 Sigmoid + 交叉熵，多分类用 Softmax + 交叉熵。

2.7 异常场景处理

求解器提示“找不到可行解”：检查公式是否有 #VALUE!、输入是否规范、约束是否合理。
训练集准确率 100% 但测试集很差：过拟合，增加数据或加正则化/Dropout。
输出全是一个类别：标签不平衡，或最后一层权重初始化导致，检查损失函数是否写对。

三、NN 误差反向传播法（Backpropagation）

3.1 核心思想：链式法则

反向传播就是从输出倒推，计算每个权重对最终误差的贡献。

中学学过的复合函数求导：

如果 $y=f(u)$，$u=g(x)$，那么 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$。

神经网络层数很多，就是一层一层套起来的复合函数。反向传播只是把链式法则系统化地算一遍。

3.2 计算图

flowchart LR
    X["x"] --> M["× w"]
    B["b"] --> S["+ b = z"]
    M --> S
    S --> A["Sigmoid a"]
    A --> L["损失 C"]
    L --> D["反向求 ∂C/∂w, ∂C/∂b"]
    D --> M
    D --> B

3.3 反向传播公式（简化版）

设某层输出为 $a$，加权输入为 $z$，下一层传来的误差为 $\delta_{\text{next}}$：

$$ \begin{aligned} \delta &= \delta_{\text{next}} \cdot w \cdot \sigma’(z) \\ \frac{\partial C}{\partial w} &= a_{\text{prev}} \cdot \delta \\ \frac{\partial C}{\partial b} &= \delta \end{aligned} $$

其中 $\sigma’(z)$ 是 Sigmoid 的导数：

$$ \sigma’(z) = \sigma(z) \cdot (1 - \sigma(z)) $$

3.4 计算例子

假设只有一个输入 x = 1，目标输出 t = 1。

网络：

$$ \begin{aligned} z &= w \cdot x + b \\ a &= \sigma(z) \\ C &= \frac{1}{2}(a - t)^2 \quad \text{（平方误差）} \end{aligned} $$

初始 w = 0.5，b = 0，学习率 η = 0.1。

前向：

$$ \begin{aligned} z &= 0.5 \times 1 + 0 = 0.5 \\ a &= \sigma(0.5) \approx 0.6225 \\ C &= \frac{1}{2}(0.6225 - 1)^2 \approx 0.0712 \end{aligned} $$

反向：

$$ \begin{aligned} \frac{\partial C}{\partial a} &= a - t = -0.3775 \\ \sigma’(z) &= a(1 - a) \approx 0.6225 \times 0.3775 \approx 0.2350 \\ \delta &= \frac{\partial C}{\partial a} \cdot \sigma’(z) \approx -0.0887 \\[6pt] \frac{\partial C}{\partial w} &= x \cdot \delta = -0.0887 \\ \frac{\partial C}{\partial b} &= \delta = -0.0887 \end{aligned} $$

更新：

$$ \begin{aligned} w_{\text{new}} &= 0.5 - 0.1 \times (-0.0887) \approx 0.5089 \\ b_{\text{new}} &= 0 - 0.1 \times (-0.0887) \approx 0.0089 \end{aligned} $$

再算一次前向，a 会比 0.6225 更接近 1，误差减小。

3.5 流程图

flowchart TD
    F["前向传播：算 z, a, C"] --> B["从输出层开始反向求 δ"]
    B --> G["计算 ∂C/∂w, ∂C/∂b"]
    G --> U["梯度下降更新权重"]
    U --> F

3.6 使用注意点 / 避坑

坑	说明	处理
Sigmoid 梯度消失	输入很大或很小时，Sigmoid 导数接近 0，深层网络传不动误差	用 ReLU / LeakyReLU
ReLU 死亡	某些神经元永远输出 0，梯度也永远 0	用 LeakyReLU、PReLU，或调小学习率
梯度爆炸	深层网络梯度越乘越大，权重变成 NaN	梯度裁剪（Gradient Clipping）、BatchNorm、残差连接
损失与输出不匹配	用 Sigmoid 配 Softmax 损失会出问题	二分类用 `binary_crossentropy`，多分类用 `categorical_crossentropy`
batch 太小	梯度噪声大，训练抖动	增大 batch，或使用带动量的优化器

3.7 异常场景处理

某层梯度全为 0：可能是激活函数“死”了，或学习率过大导致参数进入饱和区。检查激活函数输出分布。
训练 loss 下降但验证 loss 上升：典型过拟合，早停或加 Dropout。
不同层梯度尺度差 1000 倍：深层网络梯度不稳定，考虑 Batch Normalization 或更合适的初始化（He/Xavier）。

四、CNN 求解器（卷积神经网络训练）

4.1 卷积是什么？

卷积 = 用一个小窗口（卷积核 / filter）在图片上滑来滑去，局部加权求和。

好处：

捕捉边缘、纹理等局部特征。
同一个核扫完整张图，参数少很多。

4.2 池化（Pooling）

池化 = 把一小块区域压缩成一个数，常用 Max Pooling（取最大值）。

作用：降维、减少计算量、让特征对位置变化不那么敏感。

4.3 计算例子

输入图像（4×4）：

卷积核（2×2）：

1  1
1 -1

卷积（无 padding，stride=1）第一步取左上角：

1×1 + 1×1 + 1×1 + (-1)×1 = 2

滑完得到 3×3 特征图：

2  0  0
0  2  0
0  0  2

Max Pooling（2×2，stride=2）：

2  0
0  2

然后拉平成 [2, 0, 0, 2]，接到全连接层做分类。

书中 5-4 CNN（求解器）.xlsx 就是用类似流程识别“文字 1、2、3”。

4.4 结构图

flowchart LR
    I["输入图像"] --> C["卷积层"]
    C --> R["激活函数 ReLU/Sigmoid"]
    R --> P["池化层 Max Pooling"]
    P --> F["拉平 Flatten"]
    F --> D["全连接层"]
    D --> O["输出分类"]

4.5 使用注意点 / 避坑

输出尺寸算错：卷积后尺寸为 $H_{\text{out}} = \frac{H_{\text{in}} - K + 2P}{S} + 1$，忘记 padding 会导致后续层维度不匹配。
核太大：会丢失细节，图像任务一般 3×3 最常用。
池化丢失位置信息：如果任务需要精确定位（如目标检测的边界框），Max Pooling 不宜太多。
通道数暴涨：每加一个卷积层通道数翻倍会迅速爆显存，要结合池化或stride=2降采样。

4.6 异常场景处理

特征图全 0：可能是权重初始化太差，或学习率过大导致 ReLU 全部死亡。加 BatchNorm 或换初始化。
输出尺寸报错：逐层打印特征图 shape，检查核大小、stride、padding。
显存不足：减小 batch size，或减少通道数/层数。

五、CNN 误差反向传播法

5.1 卷积层的反向传播

卷积的反向传播本质上仍是卷积，只是：

误差图需要和旋转 180° 的卷积核做卷积。
再乘以当前层激活函数的导数。

简化公式：

$$ \delta_l = \delta_{l+1} \circledast \text{rot180}(W_{l+1}) \odot f’(z_l) $$

其中 ⊛ 表示卷积，⊙ 表示对应元素相乘。

5.2 池化层的反向传播

Max Pooling 反向传播最简单：把误差传回给“最大值所在位置”，其余位置填 0。

flowchart LR
    subgraph 前向
        A["2 1\n0 3"] --> B["Max=3"]
    end
    subgraph 反向
        E["误差 0.5"] --> C["0   0\n0 0.5"]
    end
    B -.-> E

5.3 计算例子

前向 Max Pooling 2×2：

输入：          输出：
2  1            3
0  3

反向时，如果输出位置误差是 0.5，传回输入应为：

0    0
0  0.5

然后继续往前传给卷积层。

5.4 流程图

flowchart TD
    subgraph 前向
        F1["卷积 + 激活"] --> F2["Max Pooling"] --> F3["全连接输出"]
    end
    subgraph 反向
        B1["输出层误差 δ"] --> B2["池化层反向：把误差还给最大值位置"]
        B2 --> B3["卷积层反向：rot180 核卷积 δ"]
        B3 --> B4["更新卷积核权重"]
    end
    F3 -.-> B1

5.5 使用注意点 / 避坑

坑	说明	处理
Max Pooling 不可导	它本身不是光滑函数，但反向传播时我们只把梯度传给最大值位置，工程上可行	注意保存前向时的“最大值位置掩码”
stride > 1 反向 upsample 复杂	误差图尺寸变小，传回去要补 0	框架会自动处理，手写时要小心
Padding 的梯度	padding 区域不应该有梯度，加 padding 时要把这些位置屏蔽	反向传播只更新非 padding 区域
BatchNorm 插在卷积后	会改变反向传播的梯度分布，但通常更稳定	BN 需要和卷积一起训练

5.6 异常场景处理

卷积核学不到东西：检查初始化、学习率，或前面层是否已经“死掉”。
深层 CNN loss 不下降：可能是梯度消失，加残差连接（ResNet）或 BatchNorm。
训练集准确率很高，测试集很低：CNN 参数多，极易过拟合，加数据增强、Dropout、L2 正则化。

六、通用训练避坑指南

下面这 10 条适用于 NN 和 CNN：

数据先归一化：像素除以 255，数值特征减去均值除以标准差。
划分训练 / 验证 / 测试集：不要拿测试集调参。
从小模型开始：先跑通一个两层的 baseline，再加深。
学习率是最重要的超参数：先用默认值，再按 10 倍上下调。
监控 loss 曲线：训练 loss 和验证 loss 一起画，才能判断是否过拟合。
早停 Early Stopping：验证 loss 连续 N 轮不降就停。
权重初始化：ReLU 用 He 初始化，Sigmoid/Tanh 用 Xavier/Glorot 初始化。
Batch Size：小 batch（16-64）通常泛化更好，大 batch 训练更快但可能陷在尖锐最小值。
标签检查：花 10 分钟抽样看标签是否正确，比调一周模型都有效。
随机种子固定：方便复现和对比实验。

七、异常场景与业务异常处理

7.1 训练阶段

异常	可能原因	处理
Loss = NaN	学习率过大、梯度爆炸、log(0)	降低学习率、梯度裁剪、加 ε
Loss 完全不降	学习率太小、数据损坏、标签全相同	逐步调大 lr、检查数据pipeline
验证 loss 上升	过拟合	早停、Dropout、数据增强、简化模型
训练 loss 和验证 loss 都高	欠拟合	增加模型容量、训练更久、减少正则
类别严重不平衡	某些类别样本极少	加权损失、过采样、Focal Loss

7.2 部署/业务阶段

业务异常	表现	处理
概念漂移	线上数据分布变了，模型准确率下降	监控分布、定期重训、在线学习
输入越界	用户上传纯黑图、超大图、非图片文件	前置校验、异常输入兜底规则
adversarial 样本	人眼看不出区别，模型却错判	对抗训练、输出置信度+人工复核
长尾类别错误	冷门类别识别率低	收集更多样本、用度量学习/少样本学习
时延/成本超标	模型太大，推理慢	剪枝、量化、蒸馏、换小模型

7.3 一个实用的排查 checklist

□ 输入数据范围对吗？（0~1 还是 -1~1？）
□ 标签编码对吗？（one-hot / integer / 概率？）
□ 损失函数和输出激活匹配吗？
□ 第一层输出 shape 符合预期吗？
□ 权重还有在更新吗？（打印梯度范数）
□ 训练一个 batch 能过拟合吗？（ Sanity Check ）
□ 学习率是不是在合理区间？

八、总结

算法	核心作用	一句话口诀
梯度下降法	找函数最小值	看梯度，反方向，迈小步
NN 求解器	用优化器直接调权重	输入加权求和，Sigmoid 出概率
NN 反向传播	高效算每个权重的梯度	从后往前，链式求导
CNN 求解器	图像特征提取 + 分类	卷积找局部特征，池化降维
CNN 反向传播	卷积和池化的梯度回传	卷积核旋转 180°，池化只传最大值

如果你是第一次接触，建议：

先打开 2-11 梯度下降法.xlsx，改改 η 和起点，看 z 怎么变。
再打开 3-5 NN（求解器）.xlsx，试着改输入像素，观察输出概率。
最后对照 4-4、5-4、5-6 这几个 Excel，理解“求解器版”和“反向传播版”其实是同一套东西的不同实现方式。

本文档持续维护中。如果有哪一步的公式或例子让你卡住，欢迎在评论区指出，我会继续用更直观的方式补充图解。

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